《高等数学（一）》教学大纲
Advanced Mathematics(1)
课程编码：09A00010 学分：5.0 课程类别：专业基础课
计划学时：80 其中讲课：80 实验或实践：0 上机：0
适用专业：材料与工程学院，化学化工学院，机械工程学院，历史与文化产业学院，商学院，生物科学与技术学院，土木建筑学院，物理科学与技术学院，信息科学与工程学院，医学与生命科学学院，资源与环境学院，自动化与电气工程学院。
推荐教材：同济大学数学系编，《高等数学》第七版（上册），高等教育出版社，2014年8月。
参考书目：
1、齐民友主编，高等数学（上册），高等教育出版社，2009年8月；
2、同济大学数学系编，高等数学习题全解指南（上册），第七版，高等教育出版社，2014年7月。
课程的教学目的与任务
高等数学（一）是工科院校的一门极其重要的专业基础课。通过本课程的学习，能使学生获得一元函数微积分和常微分方程的基本知识，基本理论和基本运算技能，逐步增加学生自学能力，比较熟练的运算能力，抽象思维和空间想象能力。同时强调分析问题和解决问题的实际能力。使学生在得到思维训练和提高数学素养的同时，为后继课程的学习和进一步扩大数学知识面打下必要的数学基础。
课程的基本要求
通过本课程的学习，使学生熟练掌握极限的计算、导数的概念和计算，理解中值定理和掌握导数的应用；掌握不定积分、定积分的计算，理解二者之间的关系，了解定积分的应用；掌握几类微分方程的解法，了解微分方程的应用。
各章节授课内容、教学方法及学时分配建议（含课内实验）
第一章 函数与极限 建议学时：20
[教学目的与要求]理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系；了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念；掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。了解数列极限和函数极限(包括左极限与右极限)的概念。了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法。理解无穷小量的概念和基本性质，掌握无穷小量的比较方法；了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型；了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质。
[教学重点与难点]连续的概念，极限的计算。
[授 课 方 法]以课堂多媒体讲授为主，课堂讨论和课堂练习为辅。
[授 课 内 容]
第一节 映射与函数
第二节 数列的极限
第三节 函数的极限
第四节 无穷小与无穷大
第五节 极限运算法则
第六节 极限存在准则 两个重要极限
第七节 无穷小的比较
第八节 函数的连续性与间断点
第九节 连续函数的运算与初等函数连续性
第十节 闭区间上连续函数的性质
第二章 导数与微分 建议学时：10
[教学目的与要求]理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程。掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则；会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数。了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。了解微分的概念、导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。
[教学重点与难点]导数、微分的概念及其计算。
[授 课 方 法]以课堂多媒体讲授为主，课堂讨论和课堂练习为辅。
[授 课 内 容]
第一节 导数概念
第二节 函数的求导法则
第三节 高阶导数
第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率
第五节 函数的微分
第三章 微分中值定理与导数的应用 建议学时：12
[教学目的与要求]理解罗尔(Rolle)定理、拉格朗日( Lagrange)中值定理，了解泰勒(Taylor)定理、柯西(Cauchy)中值定理，掌握这四个定理的简单应用。会用洛必达法则求极限。掌握函数单调性的判别方法，了解函数极值的概念，掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用。会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点和渐近线；会描述简单函数的图形。了解弧微分公式。
[教学重点与难点]中值定理及其应用，导数的应用。
[授 课 方 法]以课堂多媒体讲授为主，课堂讨论和课堂练习为辅。
[授 课 内 容]
第一节 微分中值定理
第二节 洛必达法则
第三节 泰勒公式
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
第五节 函数的极值与最大最小值
第六节 函数图形的描绘
第七节 曲率
第四章 不定积分 建议学时：12
[教学目的与要求]理解原函数的概念，理解不定积分的概念。掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握不定积分的换元积分法与分部积分法。会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的不定积分。
[教学重点与难点]不定积分的计算。
[授 课 方 法]以课堂多媒体讲授为主，课堂讨论和课堂练习为辅。
[授 课 内 容]
第一节 不定积分的概念与性质
第二节 换元积分法
第三节 分部积分法
第四节 有理函数的积分
第五章 定积分 建议学时：6
[教学目的与要求]理解定积分的概念；理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式。掌握定积分的换元积分法与分部积分法。了解反常积分的概念，会计算反常积分。
[教学重点与难点]定积分的计算。
[授 课 方 法]以课堂多媒体讲授为主，课堂讨论和课堂练习为辅。
[授 课 内 容]
第一节 定积分的概念与性质
第二节 微积分基本公式
第三节 定积分的换元法和分部积分法
第四节 反常积分
第六章 定积分的应用 建议学时：6
[教学目的与要求]掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）。
[教学重点与难点]元素法。
[授 课 方 法]以课堂多媒体讲授为主，课堂讨论和课堂练习为辅。
[授 课 内 容]
第一节 定积分的元素法
第二节 定积分在几何学上的应用
第三节 定积分在物理学上的应用
第七章 微分方程 建议学时：14
[教学目的与要求]了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念。掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法；会解简单的齐次微分方程。掌握几种可降阶的微分方程的解法。理解线性微分方程解的性质及解的结构，掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程；会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程。
[教学重点与难点]微分方程的解法。
[授 课 方 法]以课堂多媒体讲授为主，课堂讨论和课堂练习为辅。
[授 课 内 容]
第一节 微分方程的基本概念
第二节 可分离变量的微分方程
第三节 齐次方程
第四节 一阶线性微分方程
第五节 可降阶的高阶微分方程
第六节 高阶线性微分方程
第七节 常系数齐次线性微分方程
第八节 常系数非齐次线性微分方程
撰稿人：杨殿武 审核人：王纪辉
